已知f（x）=2x+12x（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）判断函数在（-∞，0）内的单调性并证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=2^x+

1

2x

（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）判断函数在（-∞，0）内的单调性并证明．

答案

（1）函数是一个偶函数，证明如下
由已知f（x）=2^x+

1

2x

=2^x+2^-x，
∵f（-x）=2^x+2^-x=f（x）
∴函数是一个偶函数
（2）是减函数，证明如下
任取x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=2x1-2x2+

1

2x1

-

1

2x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)
由于x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，可得2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数在（-∞，0）内是减函数