设f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x(x∈R).(Ⅰ)求g(x)的解析式;(Ⅱ)讨论g(x)在[0,1]上的单调性并用定义证明;(Ⅲ)
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x(x∈R). (Ⅰ)求g(x)的解析式; (Ⅱ)讨论g(x)在[0,1]上的单调性并用定义证明; (Ⅲ)若方程g(x)-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围. |
答案
(1)∵f(x)=3x,且f(a+2)=18, ∴3a+2=18⇒3a=2(2分) ∵g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x ∴g(x)=2x-4x(2分) (2)g(x)在[0,1]上单调递减.证明如下 设0≤x1<x2≤1 g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1 =(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)(2分) ∵0≤x1<x2≤1, ∴2x2>2x1,1≤2x1<2,1<2x2≤2 ∴2≤2x1+2x2<4 ∴-3<1-2x1-2x2<-1, ∴(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)<0 ∴g(x2)<g(x1) ∴g(x)在[0,1]上单调递减(2分) (3)方程为2x -4x -b=0, 令t=2x x∈[-2,2],则≤t≤4(2分) 转化为方程为t-t2-b=0在[,4]有两个不同的解. ∴b=t-t2即b=-(t-)2+, 当t=时b取最大值 当t=时,b=,当t=4时,b=-12 可得,当≤b<时,方程有两不同解.(4分) |
举一反三
函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示,则图中曲线C1,C2对应的函数分别为______,______. |
下面给出f(x)随x的增大而得到的函数值表:x | 2x | x2 | 2x+7 | log2x | 1 | 2 | 1 | 9 | 0 | 2 | 4 | 4 | 11 | 1 | 3 | 8 | 9 | 13 | 1.5850 | 4 | 16 | 16 | 15 | 2 | 5 | 32 | 25 | 17 | 2.3219 | 6 | 64 | 36 | 19 | 2.5850 | 7 | 128 | 49 | 21 | 2.8074 | 8 | 256 | 64 | 23 | 3 | 9 | 512 | 81 | 25 | 3.1699 | 10 | 1024 | 100 | 27 | 3.3219 | “2a>2b”是“log2a>log2b”的( )A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 | C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
| 设a=0.64.2,b=0.74.2,c=0.65.1,则a,b,c大小关系正确的是( )A.a>b>c | B.b>a>c | C.b>c>a | D.c>b>a |
| 不等式4x+2x+1-k>0对一切x∈R恒成立,则k范围为______. |
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