已知函数y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a∈R,且a≠0),求y的最小值.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a∈R,且a≠0),求y的最小值. |
答案
y=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+2a2-2.令t=ex+e-x,则f(t)=t2-2at+2a2-2. ∵t=ex+e-x≥2, ∴f(t)=(t-a)2+a2-2的定义域为[2,+∞). ∵抛物线的对称轴方程是t=a, ∴当a≥2时,ymin=f(a)=a2-2;当a<2且a≠0时,ymin=f(2)=2(a-1)2. |
举一反三
把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形,然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子,要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k(k>0), (1)用x和k表示出长方体的体积的表达式V=V(x),并给出函数的定义域; (2)问x取何值时,盒子的容积最大,最大容积是多少? |
如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,设小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?最大值为多少? |
已知函数f(x)满足f(logax)=(x-x-1),其中a>0且a≠1. (1)对于函数f(x),当x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数m的取值集合; (2)当x∈(-∞,2)时,f(x)+3>0恒成立,求a的取值范围. |
设0<a<1,m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系是( )A.n>m>p | B.m>p>n | C.m>n>p | D.p>m>n |
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已知指数函数f(x)=(a-1)x在R上单调递减,则实数a的取值范围是______. |
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