已知函数f（x）=log3（ax-b）的图象过点A（2，1），B（5，2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）记an=3f（n）（n∈N*），是否存在正数k，

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log₃（ax-b）的图象过点A（2，1），B（5，2），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记a_n=3^f（n）（n∈N^*），是否存在正数k，使得(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥k

2n+1

对一切n∈N^*均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

答案

（1）由题意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解得 a=2，b=-1，所以f（x）=log3（2x-1），
（2）因为an=3log3(2n-1)=2n-1．
假设存在正数k，使得(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥k

2n+1

对一切n∈N^*均成立，
则k≤

1

2n+1

（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）恒成立．
记F（n）=

1

2n+1

（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）．
则F（n+1）=

1

2n+3

（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）（1+

1

an+1

）．
∵

F(n+1)

F(n)

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1) 2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1．
∴．F（n+1）＞F（n），所以F（n）是递增数列．
所以n1=时F（n）最小，最小值F（1）=

2 3

3

．
所以k≤

2 3

3

．即k的最大值为

2 3

3

．