已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a>0,a≠1)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;(3)当x∈
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已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a>0,a≠1)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;(3)当x∈
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lo
g
a
1-mx
x-1
(a>0,a≠1)是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)当x∈(n,a-2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值.
答案
(1)∵函数
f(x)=lo
g
a
1-mx
x-1
(a>0,a≠1)是奇函数.
∴f(-x)+f(x)=0解得m=-1.
(2)由(1)及题设知:
f(x)=lo
g
a
x+1
x-1
,
设
t=
x+1
x-1
=
x-1+2
x-1
=1+
2
x-1
,
∴当x
1
>x
2
>1时,
t
1
-
t
2
=
2
x
1
-1
-
2
x
2
-1
=
2(
x
2
-
x
1
)
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
∴t
1
<t
2
.
当a>1时,log
a
t
1
<log
a
t
2
,即f(x
1
)<f(x
2
).
∴当a>1时,f(x)在(1,+∞)上是减函数.
同理当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(3)由题设知:函数f(x)的定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1),
∴①当n<a-2≤-1时,有0<a<1.由(1)及(2)题设知:f(x)在为增函数,由其值域为(1,+∞)知
lo
g
a
1+n
n-1
=1
a-2=-1
(无解);
②当1≤n<a-2时,有a>3.由(1)及(2)题设知:f(x)在(n,a-2)为减函数,由其值域为(1,+∞)知
n=1
lo
g
a
a-1
a-3
=1
得
a=2+
3
,n=1.
举一反三
函数
f(x)=
lg(3x+1)
1-x
的定义域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若x∈(0,1),则下列关系式正确的是( )
A.2
x
>lgx
B.2
x
<lgx
C.
x
1
2
>
2
x
D.
lgx>
x
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=log
a
(2-x)
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求函数f(x)的零点.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数y=
lo
g
0.5
(4x-3)
的定义域是( )
A.(,
3
4
,+∞)
B.(
3
4
,1]
C.(-∞,1]
D.[1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知
f(
x
2
-3)=lg
x
2
x
2
-6
,则f(x)的定义域为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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