(1)由题意知f(x)=sinx,要f(x0+1)=f(x0)+f(1),即需sin(x0+1)=sinx0+sin1 显然当x0=0时等式成立,即f(x)=sinx∈M. (2)∵函数f(x)=lg∈M,∴f(x+1)=f(x)+f(1)有解,即lg=lg+lglg=lg•=•, ∴x2+1=k(x2+2x+2),∴(k-1)x2+2kx+2k-1=0有解, ①k=1时,x=-有解,符合; ②k≠1时,△=4k2-4(k-1)(2k-1)≥0,∴≤k≤,k≠1, 综上:≤k≤. (3)∵函数f(x)=2x+x2∈M,要证f(x)∈M, ∴f(x+1)=f(x)+f(1)有解,∴2x+1+(x+1)2=2x+x2+3有解,即2x+2x-2=0有解, 设h(x)=2x+2x-2,∵h(0)=-1,h(1)=2, 根据函数的零点存在性判定理得,存在x0∈(0,1),h(x0)=0, 即f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,∴f(x)∈M. |