(1)a=1时,F(x)=-lnx-1(x>0), 则F′(x)=-=…(3分) 令F"(x)≥0有:x≤0(舍去)或x≥1;令F"(x)≤0有0≤x≤1…(5分) 故F(x)的单增区间为[1,+∞);单减区间为(0,1].…(6分) (2)构造F(x)=f(x)-g(x)(x>1),即F(x)=-alnx-a(x>1) 则F′(x)=. ①当a≤e时,ex-a>0成立,则x>1时,F"(x)>0,即F(x)在(1,+∞)上单增,…(7分) 令F(1)=e-a-a≥0,∴a≤e,故a≤e…(8分) ②a>e时,F"(x)=0有x=1或x=lna>1 令F"(x)≥0有x≤1或x≥lna;令F"(x)≤0有1≤x≤lna…(9分) 即F(x)在(1,lna]上单减;在[lna,+∞)上单增…(10分) 故F(x)min=F(lna)=-aln(lna)-a>0,∴a<e,舍去…(11分) 综上所述,实数a的取值范围a≤e…(12分) |