已知函数f(x)=lg(3-x3+x),其中 x∈(-3,3).(1)判别函数f(x)的奇偶性;(2)判断并证明函数f(x)在(-3,3)上单调性;(3)是否存

已知函数f(x)=lg(3-x3+x),其中 x∈(-3,3).(1)判别函数f(x)的奇偶性;(2)判断并证明函数f(x)在(-3,3)上单调性;(3)是否存

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=lg(
3-x
3+x
)
,其中 x∈(-3,3).
(1)判别函数f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明函数f(x)在(-3,3)上单调性;
(3)是否存在这样的负实数k,使f(k-cosθ)+f(cos2θ-k2)≥0对一切θ∈R恒成立,若存在,试求出k取值的集合;若不存在,说明理由.
答案
(1)因为函数的定义域关于原点对称,由f(-x)=lg
3+x
3-x
=lg(
3-x
3+x
)
-1
=-lg(
3-x
3+x
)=-f(x)

所以f(x)是奇函数.
(2)任取-3<x1<x2<3,
f(x1)-f(x2)=lg
3-x1
3+x1
-lg
3-x2
3+x2
=lg
(3-x1)(3+x2)
(3+x1)(3-x2)
=lg
9+3(x2-x1)-x1x2
9+3(x1-x2)-x1x2

因为9+3(x2+x1)-x1x2>9-3(x2+x1)-x1x2>0,
所以
9+3(x2+x1)-x1x2
9-3(x2+x1)-x1x2
>1

即f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),即f(x)是(-3,3)上的减函数;
(3)因为f(k-cosθ)+f(cos2θ-k2)≥0且f(x)是(-3,3)上的减函数,
所以f(cos2θ-k2)≥-f(k-cosθ)=f(cosθ-k),





k<0
-3<k-cosθ<3
-3<cos2θ-k2<3
k-cos⁡θ≤k2-cos2θ
恒成立.
由k-cosθ≤k2-cos2θ得,k-k2≤cosθ-cos2θ恒成立.
设y=cos⁡θ-cos2θ=-(cosθ-
1
2
)
2
+
1
4

因为-1≤cosθ≤1,所以-2≤y≤
1
4

所以k-k2≤-2,解得k≤-1.

同理:由-3<k-cosθ<3,
得:-2<k<2.
由-3<cos2θ-k2<3,得:-


3
<k<


3

即综上所得:-


3
<k≤-1

所以存在这样的k其范围为:-


3
<k≤-1
举一反三
已知cos(α+β)=
1
3
,cos(α-β)=
1
2
,则log


5
(tanαtanβ)
=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知0<a<1,x=loga


2
+loga


3
y=
1
2
loga5
z=loga


21
-loga


3
,则x,y,z的大小关系为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log
1
2
(x2-6x+5)在(a,+∞)
上是减函数,则a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=





loga(x+1),(x>0)
x2+ax+b,(x≤0)
若f(3)=2,f(-2)=0,则b=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=lg
1+x
1-x

(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)求证:f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)

(3)已知a,b∈(-1,1),且f(
a+b
1+ab
)=1
f(
a-b
1-ab
)=2
,求f(a),f(b)的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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