设f(k)是满足不等式log2x+log2(5•2k-1-x)≥2k(k∈N*)的自然数x的个数.(1)求f(k)的函数解析式;(2)Sn=f(1)+f(2)+
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设f(k)是满足不等式log2x+log2(5•2k-1-x)≥2k(k∈N*)的自然数x的个数.(1)求f(k)的函数解析式;(2)Sn=f(1)+f(2)+
题型:解答题
难度:一般
来源:青浦区一模
设f(k)是满足不等式log
2
x+log
2
(5•2
k-1
-x)≥2k(k∈N
*
)的自然数x的个数.
(1)求f(k)的函数解析式;
(2)S
n
=f(1)+f(2)+…+f(n),求S
n
;
(3)设P
n
=2
n+1
+n-3,由(2)中S
n
及P
n
构成函数T
n
,
T
n
=
log
2
(
S
n
-
P
n
)
log
2
(
S
n+1
-
P
n+1
)-10.5
,求T
n
的最小值与最大值.
答案
(1)∵log
2
x+log
2
(5•2
k-1
-x)≥2k,∴log
2
(5•2
k-1
x-x
2
)≥2k=log
2
2
2k
,
∴
x>0
5•2
k-1
-x>0
x(
5•2
k-1
-x)≥
2
2k
,
解得得2
k-1
≤x≤4•2
k-1
.
∴f(k)=4•2
k-1
-2
k-1
+1=3•2
k-1
+1(k∈N
*
)
(2)s
n
=f(1)+f(2)+…+f(n)=3(2
0
+2
1
+2
2
+…+2
n-1
)+n
=
3(1-
2
n
)
1-2
+n=3•
2
n
+n-3
;
(3)
T
n
=
log
2
(3•
2
n
+n-3-
2
n+1
-n+3)
log
2
(3•
2
n+1
+n+1-3-
2
n+2
-n-1+3)-10.5
=
n
n+1-10.5
=
n
n-9.5
=
1+
9.5
n-9.5
,
则n=9时有最小值T
9
=-18;n=10时有最大值T
10
=20.
举一反三
不等式
3
x
+lo
g
x3
+
x
3
>4
的解集是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=lo
g
2
(
2
x
-1)
,
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
如果lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( )
A.x=a+3b-c
B.
x=
3ab
5c
C.
x=
a
b
3
c
5
D.x=a+b
3
-c
3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
计算:
(
2
3
)
0
+
2
•(0.25
)
1
4
-lg25-2lg2
=______.(化到最简答案)
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
设函数
f(x)=lg
1+
2
x
+
4
x
a
4
,a∈R,如果不等式f(x)>(x-1)lg4在区间[1,3]上有解,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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