已知函数f（x）=log2x，将y=f（x）的图象向左平移两个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，（1）求

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log₂x，将y=f（x）的图象向左平移两个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，
（1）求函数y=g（x）；
（2）求函数F（x）=f（x）-g（x）的最大值．

答案

（1）根据题意和图象平移变换法则得，
g（x）=2log₂（x+2），（x＞-2），
（2）由（1）得，
F（x）=f（x）-g（x）=log₂x-2log₂（x+2），且x＞0，
F（x）=

log	x (x+2)2 2

=

log	x x2+4x+4 2

=

log	1 x+ 4 x +4 2

，
∵x＞0，∴x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，当且仅当x=

4

x

时取等号，此时x=2，
∴

log	1 x+ 4 x +4 2

≤log

1 8 2

=-3，
则F（x）_max=-3．