由y=f(x)确定数列{an}:an=f(n).若y=f(x)的反函数y=f-1(x)能确定数列{bn}:bn=f-1(n),则称{bn}是{an}的“反数列”

由y=f(x)确定数列{an}:an=f(n).若y=f(x)的反函数y=f-1(x)能确定数列{bn}:bn=f-1(n),则称{bn}是{an}的“反数列”

题型:解答题难度:一般来源:不详
由y=f(x)确定数列{an}:an=f(n).若y=f(x)的反函数y=f-1(x)能确定数列{bn}:bn=f-1(n),则称{bn}是{an}的“反数列”.
(1)若f(x)=2


x
确定的数列{an}的反数列为{bn},求bn
(2)对(1)中{bn},记Tn=


1
bn+1
+


1
bn+2
+…+


1
b2n
,若Tn
1
2
loga(1-2a)
对n∈N*恒成立,求实数a的取值范围.
(3)设cn=
1+(-1)λ
2
3n+
1-(-1)λ
2
•(2n-1)
(λ为正整数),若数列{cn}的反数列为{dn},且{cn}与{dn}的公共项组成的数列为{tn}(公共项tk=cp=dq,其中k,p,q为正整数),求数列{tn}前n项和Sn
答案
(1)f(x)=2


x
的反函数为f-1(x)=
1
4
x2(x≥0)

bn=
1
4
n2(n∈N*)

(2)由(1)的结果知


1
bk
=
2
k
(k∈N*)

Tn=
2
n+1
+
2
n+2
+…+
2
2n

Tn+1=
2
n+2
+…+
2
2n
+
2
2n+1
+
2
2n+2

Tn+1-Tn=
2
2n+1
+
2
2n+2
-
2
n+1
2
2n+2
+
2
2n+2
-
2
n+1
=0

即{Tn}单调增,
从而Tn
1
2
loga(1-2a)
对n∈N*恒成立等价于
1
2
loga(1-2a)<T1=1

化为loga(1-2a)<2,
由1-2a>0知a<
1
2

故loga(1-2a)<2等价于1-2a>2a2
结合a>0,
解得0<a<


2
-1

(3)分两种情形.
10当λ为偶数时f(x)=
1+(-1)λ
2
3x+
1-(-1)λ
2
•(2x-1)=3xf-1(x)=log3x

故cn=3n,dn=log3n,
令cp=dq,得3p=log3q⇒q=33p(p∈N*)
即{cn}的项都是{dn}的项,
tn=cn=3nSn=
3
2
(3n-1)(n∈N*)

20当λ为奇数时f(x)=
1+(-1)λ
2
3x+
1-(-1)λ
2
•(2x-1)=2x-1,f-1(x)=
x
2
+1

cn=2n-1,dn=
n
2
+1

令cp=dq,得2p-1=
q
2
+1⇒q=4p-3(p∈N*)

即{cn}的项都是{dn}的项,
故tn=cn=2n-1,Sn=n2(n∈N*).
举一反三
若函数f(x)的反函数为f-1(x)=x2+2(x<0),则f(log327)=(  )
A.1B.-1C.1或-1D.11
题型:单选题难度:一般| 查看答案
(文)如果函数f(x)=x2-bx+2在闭区间[-1,2]上有反函数,那么实数b的取值范围(  )
A.(-∞,2]B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]∪[4,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=-


1-x2
在区间M上的反函数是其本身,则M可以是(  )
A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.(-1,1)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=
x-1
x+1
(x>1)
的反函数为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=
1
3x
,那么f-1(9)= .
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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