为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题,我们可以分三步进行研究:(I)首先选取如下函数:y=2x+1,y=2xx+1,y=-x+1求
题型:解答题难度:一般来源:崇文区一模
为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题,我们可以分三步进行研究: (I)首先选取如下函数:y=2x+1,y=,y=- 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标:y=2x+1与其反函数y=的交点坐标为(-1,-1)y=与其反函数y=的交点坐标为(0,0),(1,1)y=-与其反函数y=x2-1,(x≤0)的交点坐标为(,),(-1,0),(0,-1) (II)观察分析上述结果得到研究结论; (III)对得到的结论进行证明.现在,请你完成(II)和(III). |
答案
(II)原函数的图象与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上. (III)证明:设(a,b)是f(x)的图象与其反函数的图象的任一点, 由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称, 则(b,a)也是f(x)的图象与反函数的图象的交点, 且b=f(a),a=f(a), 若a>b时,交点显然在y=x上. 若a<b,且f(x)是增函数时,有f(b)<f(a),从而b<a.矛盾; 若b<a,且f(x)是增函数时,有f(a)<f(b),从而a<b.矛盾; 若a<b,且f(x)是减函数时,有f(b)<f(a),从而a<b.此时交点不在y=x上; 若b<a,且f(x)是减函数时,有f(a)<f(b),从而b<a.此时交点不在y=x上. 综上所述,f(x)单调递增,且f(x)的图解与其反函数的图象有交点时,交点在y=x上;f(x)单调递减,且f(x)的图解与其反函数的图象有交点时,交点不在y=x上. |
举一反三
已知函数f(x)=(x<-2). (Ⅰ)求f -1(x); (Ⅱ)若a1=1,=-f-1(an)(n∈N+),求an; (Ⅲ)设bn=an+12+an+22+…+a2n+12,是否存在最小的正整数k,使对于任意n∈N+有bn<成立. 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=+的反函数是y=f-1(x),则方程f-1(2x-)=5的解是 x=______. |
若函数f(x)=的反函数是y=f-1(x),则f-1()=______. |
已知f(x)=存在反函数,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-) | B.(-∞,) | C.(-∞,-)∪(-,+∞) | D.(-∞,)∪(,+∞) |
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函数y=ln(x+),(x∈R)的反函数为( )A.y=(ex-e-x),x∈R | B.y=(ex-e-x),x∈(0,+∞) | C.y=(ex+e-x),x∈R | D.y=(ex+e-x),x∈(0,+∞) |
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