已知函数y=f(x)存在反函数,定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”.(1)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x)存在反函数,定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”. (1)判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1和性质”,说明理由; (2)求所有满足“2和性质”的一次函数. |
答案
(1)不是; ∵g(x)=x2+1(x>0) ∴y=g(x+1)=(x+1)2+1(x>0) ∴x+1= ∴x=-1 ∴y=-1即g′(x+1)=-1(x>2)① ∵g′(x)=,, ∴g′(x+1)=与①不符故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足“1和性质” (2)设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0) 则f′(x)= ∴f′(x+2)= ∵f(x+2)=k(x+2)+b ∴f′(x+2)= ∴= ∴k=-1 ∴f(x)=-x+b |
举一反三
已知y=f(x)的反函数是y=f-1(x),若方程f(x)+x-1=0与f-1(x)+x-1=0的实数解分别为α,β,则α+β=( ) |
已知函数f(x)=则f-1(1)的值等于 ______. |
设P(3,1)为二次函数f(x)=ax2-2ax+b(x≥1)的图象与其反函数f=f-1(x)的图象的一个交点,则( )A.a=,b= | B.a=,b=- | C.a=-,b= | D.a=-,b=- |
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求下列函数的反函数 (1)y=log2x (2)y=()x (3)y=2x2(x∈[1,2]) |
设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数f-1(x),f (4)=0,则f-1(4)=______. |
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