设函数f（x）=2cosx （cosx+3sinx）-1，x∈R（1）求f（x） 最小正周期T；（2）求 f（x） 单调递增区间；（3）设点P1（x1，y1），

题型：解答题难度：一般来源：杭州二模

设函数f（x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1，x∈R
（1）求f（x） 最小正周期T；
（2）求 f（x） 单调递增区间；
（3）设点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n） （n∈N^*）在函数f（x）的图象上，且满足条件：x₁=

π

6

，x_n+1-x_n=

T

2

，求N_n=y₁+y₂+…+y_n 的值．

答案

函数f（x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)（4分）
（1）T=

2π

2

=π．（3分）
（2）由2kp-

π

2

£2x+

π

6

£2kp+

π

2

，得：kp-

π

3

£x£kp+

π

6

（kÎZ），
f（x）单调递增区间是[kp-

π

3

，kp+

π

6

]（kÎZ）．（3分）
（3）∵x₁=

π

6

，x_n+1-x_n=

T

2

，
∴当n为奇数时P_n位于图象最高处，当n为偶数时P_n位于图象最低处，
∴当n为奇数时，N_n=2，
当n为偶数时，N_n=0．（4分）