在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角C满足tan2C=-15（1）求sinC的值；（2）当a=2，c=4，求△ABC的面积．

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角C满足tan2C=-

15

（1）求sinC的值；（2）当a=2，c=4，求△ABC的面积．

答案

（1）∵C为锐角，即C∈（0，90°），
∴2C∈（90°，180°），又tan2C=-

15

，
∴cos2C=-

1 1+tan22C

=-

1

4

，
又cos2C=1-2sin²C，
∴sin²C=

1-cos2C

2

=

5

8

，且C为锐角，
则sinC=

10

4

；
（2）由（1）得：sinC=

10

4

，
∴cosC=

1-sin2C

=

6

4

，且a=2，c=4，
根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：16=4+b²-

6

b，即b²-

6

b-12=0，
解得：b=2

6

或b=-

6

（舍去），
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×2×2

6

×

10

4

=

15

．