已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若4sin2B+C2-cos2A=72，b+c=3a，求A、B、C的大小．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若4sin2

B+C

2

-cos2A=

7

2

，b+c=

3

a，求A、B、C的大小．

答案

∵4sin2

B+C

2

-cos2A=

7

2

，
即4

1-cos(B+C)

2

-（2cos²A-1）=

7

2

，
∴2+2cosA-2cos²A+1=

7

2

，
即2cos²A-2cosA+

1

2

=0
解得cosA=

1

2

∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

又b+c=

3

a，由正弦定理得：sinB+sinC=

3

sinA=

3

2

∴sin（

2π

3

-C）+sinC=

3

2

∴sin（C+

π

6

）=

3

2

∴C+

π

6

=

π

3

，或C+

π

6

=

2π

3

∴C=

π

6

，或C=

π

2

∴A=

π

3

，B=

π

6

，C=

π

2

，或A=

π

3

，B=

π

2

，C=

π

6