已知方程x2-(2cos20°)x+(cos220°-12)=0（1）证明：方程有两个相异的实数根．（2）若sinα，sinβ是该方程的两根，且α，β是锐角，求

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知方程x2-(

2

cos20°)x+(cos220°-

1

2

)=0（1）证明：方程有两个相异的实数根．（2）若sinα，sinβ是该方程的两根，且α，β是锐角，求α与β．

答案

证明：(1)△=(

2

cos20°)2-4(cos220°-

1

2

)=2cos220°-4cos220°+2=2(1-cos220°)=2sin²20°＞0
∴方程有两个相异的实数根．
（2）∵sinα，sinβ是该方程的两根∴

sinα+sinβ= 2 cos20° sinαsinβ=cos220°- 1 2

将（1）²-（2）×2得：（sinα+sinβ）²-2sinαsinβ=1∴sin²α+sin²β=1∴sin²α=cos²β
∵α，β是锐角，∴sinα=cosβ，∴α=90°-β
代入（1）得：sin(90°-β)+sinβ=

2

cos20°∴

2

sin(45°+β)=

2

sin70°，
∴45°+β=70°或110°
∴β=25°或β=65°，
于是

α=25° β=65°

或

α=65° β=25°