已知sinα，cosα是关于x的一元二次方程x2-23x+a=0的两根，其中α∈[0，π]（1）求α的值．（2）求cos(α+π4)的值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知sinα，cosα是关于x的一元二次方程x2-

2

3

x+a=0的两根，其中α∈[0，π]
（1）求α的值．
（2）求cos(α+

π

4

)的值．

答案

（1）由韦达定理，sinα+cosα=

2

3

①，sinα•cosα=a②
①式平方，得1+2sinα•cosα=

2

9

∴sinαcosα=-

7

18

＜0③
∴a=-

7

18

（2）∵cos(α+

π

4

)=cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

=

2

2

(cosα-sinα)(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=

16

9

又α∈[0，π]，sinα＞0由③知cosα＜0
∴cosα-sinα=-

4

3

∴cos(α+

π

4

)=

2

2

×(-

4

3

)=-

2 2

3