已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）．若f(x0)=65，x0∈[π4，π2]．求cos2x0的值．

题型：江西模拟难度：来源：

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）．若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]．求cos2x₀的值．

答案

函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
因为f（x₀）=

6

5

，所以sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

由x₀∈[

π

4

，

π

2

]，得2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]
从而cos（2x₀+

π

6

）=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

．
所以cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

．