已知sinα＋cosα＝，α∈(0，)，sin(β－)＝，β∈(，)．(1) 求sin2α和tan2α的值；(2) 求cos(α＋2β)的值．

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知sinα＋cosα＝，α∈(0，)，sin(β－)＝，β∈(，)．
(1) 求sin2α和tan2α的值；
(2) 求cos(α＋2β)的值．

答案

(1)由题意得(sinα＋cosα)²＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.
又2α∈(0，)，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.  ……4分
(2)∵β∈(，)，β－∈(0，)，∴cos(β－)＝，
于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝.
又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－.又2β∈(，π)，∴sin2β＝.
又cos²α＝＝，∴cosα＝，sinα＝(α∈(0，))．
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×(－)－×＝－.

解析

略