已知函数f(x)=sin(x+π6)+32,若将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(

已知函数f(x)=sin(x+π6)+32,若将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+
3
2
,若将函数f(x)的图象向右平移
π
3
个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象
(1)求函数g(x)的解析式
(2)求x为何值时,函数g(x)的值最大且最大值为多少?
(3)求g(x)单调递减区间.
答案
(1)∵f(x)=sin(x+
π
6
)+
3
2

∴f(x-
π
3
)=sin[(x-
π
3
)+
π
6
]+
3
2
=sin(x-
π
6
)+
3
2

再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=sin(
1
2
x-
π
6
)+
3
2

∴经过题设的变化得到的函数g(x)=sin(
1
2
x-
π
6
)+
3
2

(2)由
1
2
x-
π
6
=2kπ+
π
2
(k∈Z)得:x=4kπ+
3
,k∈Z
∴当x=4kπ+
3
,k∈Z时,函数取得最大值
5
2

(3)令2kπ+
π
2
1
2
x-
π
6
≤2kπ+
2
(k∈Z),
得4kπ+
3
≤x≤4kπ+
10
3
π,k∈Z
∴g(x)单调递减区间为[4kπ+
3
,4kπ+
10
3
π],k∈Z.
举一反三
给出命题:
①函数y=2sinx-cosx的值域是[-2,1];
②函数y=sinπxcosπx是周期为2的奇函数;
x=-
3
4
π
是函数y=sin(x+
π
4
)
的一条对称轴;
④若sin2α<0,cosα-sinα<0,则α一定为第二象限角;
⑤在△ABC中,若A>B则sinA>sinB.
其中正确命题的序号为______.
题型:不详难度:| 查看答案
关于函数f(x)=4sin(2x+
π
3
)(x∈R),有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-
π
6
);
③y=f(x)的图象关于点(-
π
6
,0)对称;
其中正确的命题的序号是______(注:把正确的命题的序号都填上.)
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=3sin(2x-
π
3
)
的图象为C,如下结论中正确的是______(写出所有正确结论的编号).①图象C关于直线x=
6
对称;②图象C关于点(
3
,0)
对称;③由y=3sin2x的图象向右平移
π
3
个单位长度可以得到图象C;④函数f(x)在区间(-
π
12
12
)
内是增函数.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=


3
sinωx+cosωx

(1)当函数f(x)的图象经过点M(
3
,2)
,且0<ω<1时,求ω的值;
(2)当若ω=2时,求函数f(x)在区间[0,
π
2
]
上的最大值与最小值.
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
已知


a
=(cosx,cosx-


3
sinx)


b
=(sinx+


3
cosx,sinx)
,且f(x)=


a


b

①将函数f(x)的表达式化为Asin(ωx+φ)+h的形式;
②若x∈[-
π
2
π
2
]
,求函数f(x)的单调递增区间.
题型:不详难度:| 查看答案
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