已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx-b(其中b>0,ω>0)的最大值为2,直线x=x1、x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且

已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx-b(其中b>0,ω>0)的最大值为2,直线x=x1、x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且

题型:广州一模难度:来源:
已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx-b(其中b>0,ω>0)的最大值为2,直线x=x1、x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为
π
2

(1)求b,ω的值;
(2)若f(a)=
2
3
,求sin(
6
-4a)
的值.
答案
(1)f(x)=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx-b=sin2ωx+bcos2ωx=


1+b2
sin(2ωx+ϕ)
,…(2分),
由题意可得,函数f(x)的周期 T=2×
π
2
,…(3分),
再由函数的解析式可得周期T=
=
π
ω
,所以ω=1.…(4分)
再由函数的最大值为


1+b2
=2
,可得 b=±


3
,…(5分),因为b>0,所以b=


3
. …(6分)
(2)由 f(x)=2sin(2x+
π
3
)
 以及f(a)=
2
3
,求得sin(2a+
π
3
)=
1
3
.…(8分),
sin(
6
-4a)=sin[
2
-2(2a+
π
3
)]=-cos2(2a+
π
3
)
 …(10分)
=2sin2(2a+
π
3
)-1
  …(11分),
=-
7
9
. …(12分).
举一反三
已知函数f(x)=2


3
sinxcosx+2sin2x-1,x∈R

(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(II)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的
1
2
,再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间[-
π
6
π
12
]
上的值域.
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将函数y=cos2x的图象按向量


a
=(-
π
10
 , 
1
2
)
平移后,得到的图象对应的函数解析式为(  )
A.y=cos(2x+
π
10
)+
1
2
B.y=cos(2x-
π
10
)-
1
2
C.y=cos(2x+
π
5
)+
1
2
D.y=cos(2x-
π
5
)-
1
2
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已知y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的周期为1,最大值与最小值的差是3,且函数的图象过点(
1
8
3
4
)
,则函数表达式为(  )
A.y=3sin(2x+
7
12
π)
B.y=
3
2
sin(2x+
π
4
)
C.y=3sin(2πx+
π
12
)
D.y=
3
2
sin(2πx-
π
12
)
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把函数y=cos2x+


3
sin2x
的图象经过变化而得到y=-2sin2x的图象,这个变化是(  )
A.向左平移
12
个单位
B.向右平移
12
个单位
C.向左平移
6
个单位
D.向右平移
6
个单位
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已知函数f(x)=2sin(ωx-
π
6
)-
1
2
(ω>0)
g(x)=
1
2
cos(2x+φ)+1
的图象的对称轴完全相同,若x∈[0 , 
π
2
],则f(x)的取值范围是(  )
A.[-
5
2
 , 
3
2
]
B.[-
1
2
 , 
3
2
]
C.[-
3
2
 , 
3
2
]
D.[-
1
2
 , 
1
2
]
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