已知函数y=3sinx+cosx，x∈R．（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx （x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩

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已知函数y=

3

sinx+cosx，x∈R．
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx （x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

答案

（1）y=

3

sinx+cosx
=2（sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

）
=2sin（x+

π

6

），x∈R
y取得最大值必须且只需
x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即x=

π

3

+2kπ，k∈Z．
所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
{x|x=

π

3

+2kπ，k∈Z}．
（2）变换的步骤是：
①把函数y=sinx的图象向左平移

π

6

，得到函数y=sin（x+

π

6

）的图象；
②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin（x+

π

6

）的图象；
经过这样的变换就得到函数y=

3

sinx+cosx的图象．