函数f（x）=2cos2x+asinxcosx，f=0．（Ⅰ）求实数a；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（III）若函数f（x）的图象按向量m=平

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函数f（x）=2cos²x+asinxcosx，f=0．
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（III）若函数f（x）的图象按向量m=平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．

答案

解：（Ι）由题意，f =2× +a× × =0，
∴a=﹣2 ．
（ΙΙ）函数f（x）=2cos²x+asinxcosx
=（cos2x+1）﹣ sin2x
=2cos（2x+ ）+1，
故最小正周期T= ．
令 2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，k∈z，
解得 kπ﹣ ≤x≤kπ﹣ ，k∈z．
故函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ﹣ ]，k∈z．
（ΙII）在函数g（x）的图象上任取一点P（x，y），
设该点是由函数f（x）图象上的点 P′（x′，y′）按向量  =（ ，﹣1）平移后所得，
则  ，∴ ．
代入 y′=2cos（2x′+ ）+1中可得：y=2cos2x，
∴g（x）=2cos2x．