已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.（Ⅰ）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并

题型：不详难度：来源：

已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.
（Ⅰ）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数图像对称中心的坐标；
（Ⅲ）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数和，使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明).

答案

（Ⅰ）,;（Ⅱ）;（Ⅲ）假命题, 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.

解析

试题分析：（Ⅰ）将向左平移个单位后得到的解析式是，然后向上平移2个单位得到，再根据题设的真命题得到图像对称中心的坐标是；（Ⅱ）设则的定义域关于原点对称，即是一个关于原点对称的区间，则，此时，再根据求得即可得图像对称中心的坐标是；（Ⅲ）举出这个反例即可说明此命题是假命题.
试题解析：（Ⅰ）平移后图像对应的函数解析式为，
∵，，∴是奇函数，
又由题设真命题知，函数图像对称中心的坐标是.
（Ⅱ）设的对称中心为,由题设知函数是奇函数.
设则，
由不等式的解集关于原点对称,得.
此时.
任取，由，得，
所以函数图像对称中心的坐标是.
（Ⅲ）此命题是假命题.
举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像，但是对任意实数和，函数，即总不是偶函数.
修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.