已知向量a=(sinx，cosx+sinx)，b=(2cosx，cosx-sinx)，x∈R，设函数f(x)=a•b（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及相应的自变量x

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=(sinx，cosx+sinx)，

b

=(2cosx，cosx-sinx)，x∈R，设函数f(x)=

a

•

b

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及相应的自变量x的取值集合；
（II）当x0∈(0，

π

8

)且f(x0)=

4 2

5

时，求f(x0+

π

3

)的值

答案

（Ⅰ）∵

a

=(sinx，cosx+sinx)，

b

=(2cosx，cosx-sinx)，
∴f(x)=

a

•

b

=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）=2sinxcosx+cos²x-sin²x（1分）
=sin2x+cos2x（3分）
=

2

sin(2x+

π

4

)（4分）
∴函数f（x）取得最大值为

2

．（5分）
相应的自变量x的取值集合为{x|x=

π

8

+kπ（k∈Z）}（7分）
（II）由f(x0)=

4 2

5

得

2

sin(2x0+

π

4

)=

4 2

5

，即sin(2x0+

π

4

)=

4

5

因为x0∈(0，

π

8

)，所以2x0+

π

4

∈(

π

4

，

π

2

)，从而cos(2x0+

π

4

)=

3

5

（9分）
于是f(x0+

π

3

)=

2

sin(2x0+

π

4

+

π

3

)=

2

sin[(2x0+

π

4

)+

π

3

]=

2

sin[(2x0+

π

4

)+

π

3

]=

2

[sin(2x0+

π

4

)cos

π

3

+cos(2x0+

π

4

)sin

π

3

]
=

2

(

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

)=

4 2 +3 6

10

（14分）