已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=35，sin（A-B）=15．（Ⅰ）求证：tanA=2tanB；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高．

题型：黑龙江难度：来源：

已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

．
（Ⅰ）求证：tanA=2tanB；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高．

答案

（I）证明：∵sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

，
∴sinAcosB+cosAsinB=

3

5

，sinAcosB-cosAsinB=

1

5

，
∴sinAcosB=

2

5

，cosAsinB=

1

5

，
∴tanA=2tanB．
（2）∵

π

2

＜A+B＜π，sin(A+B)=

3

5

，∴cos(A+B)=-

4

5

，tan(A+B)=-

3

4

即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

4

，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan²B-4tanB-1=0
解得tanB=

2± 6

2

，因为B为锐角，所以tanB=

2+ 6

2

，∴tanA=2tanB=2+

6

．
设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=

CD

tanA

+

CD

tanB

=

3CD

2+ 6

，由AB=3得CD=2+

6

故AB边上的高为2+

6

．