设a为实数,在复数集C中解方程:z2+2|z|=a.

设a为实数,在复数集C中解方程:z2+2|z|=a.

题型:不详难度:来源:
设a为实数,在复数集C中解方程:z2+2|z|=a.
答案
设|z|=r.若a<0,则z2=a-2|z|<0,于是z为纯虚数,从而r2=2r-a.
由于z2=a-2|z|为实数,故z为纯虚数或实数,因而需分情况进行讨论.
解得r=1+


1-a
(r=1-


1-a
<0,不合,舍去).故z=±(1+


1-a
)i.
若a≥0,对r作如下讨论:
(1)若r≤
1
2
a,则z2=a-2|z|≥0,于是z为实数.
解方程r2=a-2r,得r=-1+


1+a
(r=-1-


1+a
<0,不合,舍去).
故z=±(-1+


1+a
).
(2)若r>
1
2
a,则z2=a-2|z|<0,于是z为纯虚数.
解方程r2=2r-a,得r=1+


1-a
或r=1-


1-a
(a≤1).
故z=±(


1-a
)i(a≤1).
综上所述,原方程的解的情况如下:
当a<0时,解为:z=±(1+


1-a
)i;
当0≤a≤1时,解为:z=±(-1+


1+a
),z=±(


1-a
)i;
当a>1时,解为:z=±(-1+


1+a
).
举一反三
在下列各数中,已表示成三角形式的复数是(  )
A.2(cos
π
4
-isin
π
4
)
B.2(cos
π
4
+isin
π
4
)
C.2(sin
π
4
-icos
π
4
)
D.-2(sin
π
4
-icos
π
4
)
题型:不详难度:| 查看答案
当m<1时,复数z=2+(m-1)i在复平面上对应的点位于(  )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
题型:北京难度:| 查看答案
在复数范围内,求方程|z|2+(z+
.
z
)i=3-i(i为虚数单位)的解.
题型:上海难度:| 查看答案
设复数z的幅角的主值为
3
,虚部为


3
,则z2=(  )
A.-2-2


3
i
B.-2


3
-2i
C.2+2


3
i
D.2


3
+2i
题型:陕西难度:| 查看答案
复数z=cos
5
-isin
5
,则
.
z
的幅角主值是(  )
A.-
2
5
π
B.
8
5
π
C.
2
5
π
D.
3
5
π
题型:苏州模拟难度:| 查看答案
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