证明：对于任意实数t，复数z=|cost|+|sint|i的模r=|z|适合r≤42．

题型：不详难度：来源：

证明：对于任意实数t，复数z=

|cost|

+

|sint|

i的模r=|z|适合r≤

4	2

．

答案

证明：复数z=

|cost|

+

|sint|

i（其中t是实数）的模r=|z|为r=

( |cost| )2+( |sint| )2

=

|cost|+|sint|

.
要证对任意实数t，有r≤

4	2

，
只要证对任意实数t，|cost|+|sint|≤

2

成立
对任意实数t，因为|cost|²+|sint|²=1
所以可令cosϕ=|cost|，sinϕ=|sint|，
且ϕ∈(0，

π

2

)，
于是|cost|+|sint|=cosϕ+sinϕ=

2

sin(ϕ+

π

4

)≤

2

.