设α，β为一对共轭复数，若|α-β|=23，且αβ2为实数，则|α|=______．

题型：不详难度：来源：

设α，β为一对共轭复数，若|α-β|=2

3

，且

α

β2

为实数，则|α|=______．

答案

设α=x+yi，β=x-yi（x，y∈R），
则|α-β|=2|y|=2

3

∴y=±

3

．
∵

α

β2

=

x+yi

(x-yi)2

=

x+yi

x2-y2-2xyi

=

(x+yi)(x2-y2+2xyi)

(x2-y2-2xyi)(x2-y2+2xyi)

∈R
∴2x²y+y（x²-y²）=y（3x²-y²）=0
∵y=±

3

∴x2=

1

3

y2=1
∴|α|=

x2+y2

=2
故答案为：2