(2011•湖北)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠﹣1).(1)求数列{an}的通项公式;
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(2011•湖北)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠﹣1).(1)求数列{an}的通项公式;
题型:不详
难度:
来源:
(2011•湖北)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足:a
1
=a(a≠0),a
n+1
=rS
n
(n∈N
*
,r∈R,r≠﹣1).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若存在k∈N
*
,使得S
k+1
,S
k
,S
k+2
成等差数列,试判断:对于任意的m∈N
*
,且m≥2,a
m+1
,a
m
,a
m+2
是否成等差数列,并证明你的结论.
答案
(1)
(2)见解析
解析
(1)由已知a
n+1
=rS
n
,则a
n+2
=rS
n+1
,两式相减得
a
n+2
﹣a
n+1
=r(S
n+1
﹣S
n
)=ra
n+1
即a
n+2
=(r+1)a
n+1
又 a
2
=ra
1
=ra
∴当r=0时,数列{a
n
}为:a,0,0,…;
当r≠0时,由r≠﹣1,a≠0,∴a
n
≠0
由a
n+2
=(r+1)a
n+1
得数列{a
n
}从第二项开始为等比数列
∴当n≥2时,a
n
=r(r+1)
n
﹣
2
a
综上数列{a
n
}的通项公式为
(2)对于任意的m∈N
*
,且m≥2,a
m+1
,a
m
,a
m+2
成等差数列,理由如下:
当r=0时,由(1)知,
∴对于任意的m∈N
*
,且m≥2,a
m+1
,a
m
,a
m+2
成等差数列;
当r≠0,r≠﹣1时
∵S
k+2
=S
k
+a
k+1
+a
k+2
,S
k+1
=S
k
+a
k+1
若存在k∈N
*
,使得S
k+1
,S
k
,S
k+2
成等差数列,则2S
k
=S
k+1
+S
k+2
∴2S
k
=2S
k
+a
k+2
+2a
k+1
,即a
k+2
=﹣2a
k+1
由(1)知,a
2
,a
3
,…,a
n
,…的公比r+1=﹣2,于是
对于任意的m∈N
*
,且m≥2,a
m+1
=﹣2a
m
,从而a
m+2
=4a
m
,
∴a
m+1
+a
m+2
=2a
m
,即a
m+1
,a
m
,a
m+2
成等差数列
综上,对于任意的m∈N
*
,且m≥2,a
m+1
,a
m
,a
m+2
成等差数列.
举一反三
(2011•重庆)设实数数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
n+1
=a
n+1
S
n
(n∈N
*
).
(1)若a
1
,S
2
,﹣2a
2
成等比数列,求S
2
和a
3
.
(2)求证:对k≥3有0≤a
k
≤
.
题型:不详
难度:
|
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(2013•重庆)已知{a
n
}是等差数列,a
1
=1,公差d≠0,S
n
为其前n项和,若a
1
,a
2
,a
5
成等比数列,则S
8=
_________
.
题型:不详
难度:
|
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(2013•重庆)若2、a、b、c、9成等差数列,则c﹣a=
_________
.
题型:不详
难度:
|
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(2013•重庆)设数列{a
n
}满足:a
1
=1,a
n+1
=3a
n
,n∈N
+
.
(1)求{a
n
}的通项公式及前n项和S
n
;
(2)已知{b
n
}是等差数列,T
n
为前n项和,且b
1
=a
2
,b
3
=a
1
+a
2
+a
3
,求T
20
.
题型:不详
难度:
|
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在无穷数列
中,
,对于任意
,都有
,
. 设
, 记使得
成立的
的最大值为
.
(1)设数列
为1,3,5,7,
,写出
,
,
的值;
(2)若
为等差数列,求出所有可能的数列
;
(3)设
,
,求
的值.(用
表示)
题型:不详
难度:
|
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