试题分析:(Ⅰ)由 是 与 的等比中项可得 ,根据等比数列基本量可得到关于 的方程,从而求出 ,由 得到数列 的通项公式; (Ⅱ)由题中所给 关于 表达式 化简得用 表示 的表达式,即 ,这样可联想到去求出 ,利用等差中项可求出 的值,并由此求出 的表达式,最后根据求 的表达式结合等差数列的定义去证明它是一个等差数列; (Ⅲ)由(Ⅰ)知数列 的通项公式,由(Ⅱ)知数列 的通项公式,结合题中要求分析得: , ,则可得出数列 的大体如下: ,可见数列 的前三项均为 ,由此可验证 的具体情况,可得其中 符合题中要求,当 时,分析 不可能为 ,因为前面的永大于 ,那么要存在 肯定为 ,这样就可得到关于 一个假设的等式,并可化简得关于 的表达式 ,根据特点可设出对应的函数 ,最后由导数在函数中的运用去判断出在 上函数恒为正. 试题解析:解:(Ⅰ)因为 ,所以 , 解得 (舍),则 3分 又 ,所以 5分 (Ⅱ)由 ,得 , 所以 , 则由 ,得 8分 而当 时, ,由 (常数)知此时数列 为等差数列 10分 (Ⅲ)因为 ,易知 不合题意, 适合题意 11分 当 时,若后添入的数2 ,则一定不适合题意,从而 必是数列 中的 某一项 ,则 , 所以 ,即 13分 记![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191009/20191009115827-56904.png) ,则 , 因为 , 所以当 时, ,又 , 从而 ,故 在[3, 递增. 则由 知 =0在[3, 无解, 即 都不合题意 15分 综上知,满足题意的正整数仅有m=2 16分 |