已知数列{an}满足a1=a(a>0,a∈N*),a1+a2+…+an-pan+1=0(p≠0,p≠-1,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)
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已知数列{an}满足a1=a(a>0,a∈N*),a1+a2+…+an-pan+1=0(p≠0,p≠-1,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{
a
n
}满足
a
1
=
a
(
a
>0,
a
∈N
*
),
a
1
+
a
2
+…+
a
n
-
pa
n
+1
=0(
p
≠0,
p
≠-1,
n
∈N
*
).
(1)求数列{
a
n
}的通项公式
a
n
;
(2)若对每一个正整数
k
,若将
a
k
+1
,
a
k
+2
,
a
k
+3
按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差为
d
k
.①求
p
的值及对应的数列{
d
k
}.
②记
S
k
为数列{
d
k
}的前
k
项和,问是否存在
a
,使得
S
k
<30对任意正整数
k
恒成立?若存在,求出
a
的最大值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
a
n
=
(2)①
p
=-
,
d
k
=9
a
·2
k
-1
或
p
=-
,
d
k
=
k
-1
②
a
=13.
解析
(1)因为
a
1
+
a
2
+…+
a
n
-
pa
n
+1
=0,所以
n
≥2时,
a
1
+
a
2
+…+
a
n
-1
-
pa
n
=0,两式相减,得
(
n
≥2),故数列{
a
n
}从第二项起是公比为
的等比数列,又当
n
=1时,
a
1
-
pa
2
=0,解得
a
2
=
,
从而
a
n
=
(2)①由(1)得
a
k
+1
=
k
-1
,
a
k
+2
=
k
,
a
k
+3
=
k
+1
,
若
a
k
+1
为等差中项,则2
a
k
+1
=
a
k
+2
+
a
k
+3
,
即
=1或
=-2,解得
p
=-
;
此时
a
k
+1
=-3
a
(-2)
k
-1
,
a
k
+2
=-3
a
(-2)
k
,
所以
d
k
=|
a
k
+1
-
a
k
+2
|=9
a
·2
k
-1
,
若
a
k
+2
为等差中项,则2
a
k
+2
=
a
k
+1
+
a
k
+3
,即
=1,此时无解;
若
a
k
+3
为等差中项,则2
a
k
+3
=
a
k
+1
+
a
k
+2
,即
=1或
=-
,
解得
p
=-
,
此时
a
k
+1
=-
k
-1
,
a
k
+3
=-
k
+1
,所以
d
k
=|
a
k
+1
-
a
k
+3
|=
k
-1
,
综上所述,
p
=-
,
d
k
=9
a
·2
k
-1
或
p
=-
,
d
k
=
k
-1
.
②当
p
=-
时,
S
k
=9
a
(2
k
-1).
则由
S
k
<30,得
a
<
,
当
k
≥3时,
<1,所以必定有
a
<1,
所以不存在这样的最大正整数.
当
p
=-
时,
S
k
=
,
则由
S
k
<30,得
a
<
,因为
>
,所以
a
=13满足
S
k
<30恒成立;但当
a
=14时,存在
k
=5,使得
a
>
即
S
k
<30,
所以此时满足题意的最大正整数
a
=13
举一反三
设双曲线
-
y
2
=1的右焦点为
F
,点
P
1
、
P
2
、…、
P
n
是其右上方一段(2≤
x
≤2
,
y
≥0)上的点,线段|
P
k
F
|的长度为
a
k
(
k
=1,2,3,…,
n
).若数列{
a
n
}成等差数列且公差
d
∈
,则
n
的最大取值为________.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{
a
n
}的首项为
a
1
,公差为
d
,其前
n
项和为
S
n
,若直线
y
=
a
1
x
与圆(
x
-2)
2
+
y
2
=4的两个交点关于直线
x
+
y
+
d
=0对称,则
S
n
=________.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且
S
3
=6,则5
a
1
+
a
7
的值为( )
A.12
B.10
C.24
D.6
题型:不详
难度:
|
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已知在等比数列{
a
n
}中,有
a
3
a
11
=4
a
7
,数列{
b
n
}是等差数列,且
a
7
=
b
7
,则
b
5
+
b
9
=( )
A.2
B.4
C.8
D.16
题型:不详
难度:
|
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已知{
a
n
}为等差数列,若
a
3
+
a
4
+
a
8
=9,则
S
9
=( )
A.24
B.27
C.15
D.54
题型:不详
难度:
|
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