(本小题满分14分)(注意:在试题卷上作答无效)设数列的前项和为,对一切,点都在函数 的图象上. (Ⅰ)求及数列的通项公式;(Ⅱ) 将数列依次按1项、2项、3项
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(本小题满分14分)(注意:在试题卷上作答无效)设数列的前项和为,对一切,点都在函数 的图象上. (Ⅰ)求及数列的通项公式;(Ⅱ) 将数列依次按1项、2项、3项
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)(注意:在试题卷上作答无效)
设数列
的前
项和为
,对一切
,点
都在函数
的图象上.
(Ⅰ)求
及数列
的通项公式
;
(Ⅱ) 将数列
依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(
),(
,
),(
,
,
),(
,
,
,
);(
),(
,
),(
,
,
),(
,
,
,
);(
),…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
,求
的值;
(Ⅲ)令
(
),求证:
答案
(Ⅰ)
,
,
,
(Ⅱ)
=2010
(Ⅲ)
解析
解:(1)因为点
在函数
的图象上,
故
,所以
.令
,得
,所以
;
令
,得
,
;令
,得
,
.
由此猜想:
.
用数学归纳法证明如下:
①当
时,有上面的求解知,猜想成立.
②假设
时猜想成立,即
成立,
则当
时,注意到
,
故
,
.
两式相减,得
,所以
.
由归纳假设得,
,故
.
这说明
时,猜想也成立.
由①②知,对一切
,
成立 . …………………………………………4分
另解:因为点
在函数
的图象上,
故
,所以
①.令
,得
,所以
;
时
②
时①-②得
令
,
即
与
比较可得
,解得
.
因此
又
,所以
,从而
. …………4分
(2)因为
(
),所以数列
依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),…. 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号, 故
是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列,且公差为20. 同理,由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列,且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68,
所以
.又
=22,所以
="2010." ………………9分
(3)有(1)中知
,∴
,
当
时,
;
当
时,
显然
而
(
)
。…………………14分
举一反三
(本题满分14分)
已知函数
,
是方程
f
(x)=0的两个根
,
是
f
(x)的导数.
设
,
(n=1,2,……)
(1)求
的值;
(2)证明:对任意的正整数n,都有
>a;
(3)记
(n=1,2,……),求数列{b
n
}的前n项和S
n
。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
在数列
中,
,其中
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)求数列
的前
项和
;
(Ⅲ)证明存在
,使得
对任意
均成立.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)
设
是数列
(
)的前
项和,
,且
,
,
.
(I)证明:数列
(
)是常数数列;
(II)试找出一个奇数
,使以18为首项,7为公比的等比数列
(
)中的所有项都是数列
中的项,并指出
是数列
中的第几项.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知数列{
a
n
}中
(Ⅰ)求{
a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{
b
n
}中
,证明:
≤
题型:不详
难度:
|
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已知数列{
a
n
}对于任意
p
,
q
∈
N
*
,有
a
p
+
a
q
=
a
p
+
q
,若
a
1
=
,则
a
36
=
.
题型:不详
难度:
|
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