已知各项均为正数的数列满足,, .(Ⅰ)求证:数列是等比数列; (Ⅱ)当取何值时,取最大值,并求出最大值;(Ⅲ)若对任意恒成立,求实数的取值范围.

已知各项均为正数的数列满足,, .(Ⅰ)求证:数列是等比数列; (Ⅱ)当取何值时,取最大值,并求出最大值;(Ⅲ)若对任意恒成立,求实数的取值范围.

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已知各项均为正数的数列满足.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列; 
(Ⅱ)当取何值时,取最大值,并求出最大值;
(Ⅲ)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
答案
(I)见解析
(II)当n=7或n=8时,取最大值,最大值为
(III)实数的取值范围是
解析
(I)∵
. 即
,所以

是以为首项,公比为的等比数列.
(II)由(I)可知 ().


n=7时,
n<7时,
n>7时,

n=7或n=8时,取最大值,最大值为
(III)由,得      (*)
依题意(*)式对任意恒成立,
t=0时,(*)式显然不成立,因此t=0不合题意.
②当t<0时,由,可知).
而当m是偶数时,因此t<0不合题意.
③当t>0时,由),
   ∴. (
    (
 =,
.∴的最大值为
所以实数的取值范围是
举一反三
已知数列中,,对于任意的,有
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:求数列的通项公式;
(3)设,是否存在实数,当时,恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由.
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已知数列满足,则当时,      .
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已知数列的前n项和为,且,求的值.
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已知数列中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1an,(n∈N*) 
(1)求数列的通项公式;(2)设=|a1|+|a2|+…+|an|,求.
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已知递增的等比数列的前三项之积为512,且这三项分别减去1,3,9后又成等差数列,求数列的通项公式,并求数列的前n项和.
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