(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足,且(1)求{}的通项公式;(5分)(2)设数列{}满足,并记为{}的前n项和,求证:. (7分
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(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足,且(1)求{}的通项公式;(5分)(2)设数列{}满足,并记为{}的前n项和,求证:. (7分
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{
}的前n项和满足
,且
(1)求{
}的通项公式;(5分)
(2)设数列{
}满足
,并记
为{
}的前n项和,
求证:
. (7分)
答案
(I)解:由
,解得
或
,由假设
,因此
,
又由
,
得
,
即
或
,因
,故
不成立,舍去.
因此
,从而
是公差为
,首项为
的等差数列,
故
的通项为
.
(II)证法一:由
可解得
;
从而
.
因此
.
令
,则
.
因
,故
.
特别地
,从而
.
即
.
证法二:同证法一求得
及
,
由二项式定理知,当
时,不等式
成立.
由此不等式有
.
证法三:同证法一求得
及
.
令
,
.
因
.因此
.
从而
.
证法四:同证法一求得
及
.
下面用数学归纳法证明:
.
当
时,
,
,
因此
,结论成立.
假设结论当
时成立,即
.
则当
时,
因
.故
.
从而
.这就是说,当
时结论也成立.
综上
对任何
成立.
解析
(I)解:由
,解得
或
,由假设
,因此
,
又由
,
得
,
即
或
,因
,故
不成立,舍去.
因此
,从而
是公差为
,首项为
的等差数列,
故
的通项为
.
(II)证法一:由
可解得
;
从而
.
因此
.
令
,则
.
因
,故
.
特别地
,从而
.
即
.
证法二:同证法一求得
及
,
由二项式定理知,当
时,不等式
成立.
由此不等式有
.
证法三:同证法一求得
及
.
令
,
.
因
.因此
.
从而
.
证法四:同证法一求得
及
.
下面用数学归纳法证明:
.
当
时,
,
,
因此
,结论成立.
假设结论当
时成立,即
.
则当
时,
因
.故
.
从而
.这就是说,当
时结论也成立.
综上
对任何
成立.
举一反三
已知等差数列
中,公差
,其前
项和为
,且满足
,
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设由
(
)构成的新数列为
,求证:当且仅当
时,数列
是等差数列;
(3)对于(2)中的等差数列
,设
(
),数列
的前
项和为
,现有数列
,
(
),
是否存在整数
,使
对一切
都成立?若存在,求出
的最小
值,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知
是数列
的前
n
项和,
满足关系式
,
(
n
≥2,
n
为正整数).
(1)令
,证明:数列
是等差数列;
(2)求数列
的通项公式;
(3)对于数列
,若存在常数
M
>0,对任意的
,恒有
≤
M
成立,称数列
为“差绝对和有界数列”,
证明:数列
为“差绝对和有界数列”.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
,把数列
的各项排成三角形状:
记A(m,n)表示第m行,第n列的项,
则A(10,8)=
________
.
题型:不详
难度:
|
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设等差数列
的最大值为
。
题型:不详
难度:
|
查看答案
(13分)正项数列
的前
项和为
且
(1)试求数列
的通项公式;(2)设
求数列
的前
项和
题型:不详
难度:
|
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