已知正整数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足2=an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Bn.

题型：不详难度：来源：

已知正整数列{a_n}的前n项和为S_n,且对任意的正整数n满足2=a_n+1.
(1)求数列{a_n}的通项公式;
(2)设b_n=,求数列{b_n}的前n项和B_n.

答案

(1) 数列{a_n}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.
(2) (1-)=-.

解析

(1)∵对任意的正整数n,2=a_n+1                        ①
恒成立,
当n=1时,2=a₁+1,即(-1)²=0,
∴a₁=1.
当n≥2时,有2=a_n-1+1.                            ②
①²-②²得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1,
即(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0.∵a_n>0,∴a_n+a_n-1>0.∴a_n-a_n-1=2.
∴数列{a_n}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)∵a_n+1=2n+1,
∴b_n==(-).
∴B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=(1-)=-.