设,等差数列中,,记=,令,数列的前n项和为.(Ⅰ)求的通项公式和;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)是否存在正整数,且,使得成等比数列?若存在,求出的值,若不存在,说明理由
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设,等差数列中,,记=,令,数列的前n项和为.(Ⅰ)求的通项公式和;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)是否存在正整数,且,使得成等比数列?若存在,求出的值,若不存在,说明理由
题型:不详
难度:
来源:
设
,等差数列
中
,
,记
=
,令
,数列
的前n项和为
.
(Ⅰ)求
的通项公式和
;
(Ⅱ)求证:
;
(Ⅲ)是否存在正整数
,且
,使得
成等比数列?若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)
S
n
=
=
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)
成等比数列,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得
成等比数列
解析
(Ⅰ)设数列
的公差为
,由
,
.
解得
,
="3 " ∴
∵
∴S
n
=
=
.
(Ⅱ)
∴
∴
(Ⅲ)由(2)知,
∴
,
∵
成等比数列.
∴
即
当
时,7
,
=1,不合题意;
当
时,
,
=16,符合题意;
当
时,
,
无正整数解;
当
时,
,
无正整数解;
当
时,
,
无正整数解;
当
时,
,
无正整数解;
当
时,
,则
,而
,
所以,此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得
成等比数列.
综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得
成等比数列.
举一反三
在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n+1
=
,n∈N
*
,猜想这个数列的通项公式是什么?这个猜想正确吗?说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
1
=2,2a
n
+1
=2a
n
+1则a
101
的值为( )
A.49
B.50
C.51
D.52
题型:不详
难度:
|
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在-1与7之间顺次插入三个数a、b、c,使这5个数成等差数列,则这个数列为__________.
题型:不详
难度:
|
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已知数列的通项公式为a
n
=lg
,问这个数列是等差数列吗?若是等差数列,其首项与公差分别是多少?
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的各项的倒数组成一个等差数列,若a
3
=
-1,a
5
=
+1,求a
11
.
题型:不详
难度:
|
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