已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令  (Ⅱ)求数列(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则

题型：不详难度：来源：

已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令  (Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

答案

解：（I）由已知得 

又

是以为首项，以为公比的等比数列.
（II）由（I）知，


将以上各式相加得：

               
（III）解法一：
存在，使数列是等差数列.



数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当，即时，数列为等差数列.
解法二：
存在，使数列是等差数列.
由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列.

解析

解：（I）由已知得 

又

是以为首项，以为公比的等比数列.
（II）由（I）知，


将以上各式相加得：

               
（III）解法一：
存在，使数列是等差数列.



数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当，即时，数列为等差数列.
解法二：
存在，使数列是等差数列.
由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列.