设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(m+1)-man对于任意的正整数n都成立,其中m为常数,且m<-1.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设数列{
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设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(m+1)-man对于任意的正整数n都成立,其中m为常数,且m<-1.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设数列{
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=(m+1)-ma
n
对于任意的正整数n都成立,其中m为常数,且m<-1.
(1)求证:数列{a
n
}是等比数列;
(2)设数列{a
n
}的公比q=f(m),数列{b
n
}满足:
b
1
=
1
3
a
1
,b
n
=f(b
n-1
)(n≥2,n∈N),求证:数列{
1
b
n
}是等差数列,并求数列{b
n
b
n+1
}的前n项和.
答案
(1)由已知S
n
=(m+1)-ma
n
;
S
n+1
=(m+1)-ma
n+1
,
相减,得:a
n+1
=ma
n
-ma
n+1
,
即
a
n+1
a
n
=
m
m+1
,
所以{a
n
}是等比数列
(2)当n=1时,a
1
=m+1-ma
1
,
则a
1
=1,
从而b
1
=
1
3
,
由(1)知q=f(m)=
m
m+1
,
所以b
n
=f(b
n-1
)=
b
n-1
b
n-1
+1
(n≥2)
∴
1
b
n
=1+
1
b
n-1
,
∴数列{
1
b
n
}是首项为
1
3
,公差为1的等差数列
∴
1
b
n
=3+(n-1)=n+2,
故:bn=
1
n+2
(n≥1),
∴{b
n
b
n+1
=
1
(n+2)(n+3)
=
1
n+2
-
1
n+3
;
∴数列{b
n
b
n+1
}的前n项和A=(
1
3
-
1
4
)+(
1
4
-
1
5
)+…+(
1
n+2
-
1
n+3
)=
1
3
-
1
n+3
=
n
3n+9
.
举一反三
已知数列{a
n
}满足 a
1
=2,a
2
=8,a
n+2
=4a
n+1
-4a
n
.
(1)证明{a
n+1
-2a
n
}是等比数列;
(2)证明
{
a
n
2
n
}
是等差数列;
(3)设S=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
2010
,求S的值.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
2
+1是a
1
与a
3
的等差中项,设
x
=(1,2),
y
=(
a
n
,
a
n+1
)
,且满足
x
∥
y
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)记数列{a
n
}的前n项的和为S
n
,若数列{b
n
}满足b
n
=a
n
log
2
(s
n
+2),试求数列{b
n
}的前n项的和T
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知等差数列{a
n
},若a
1
+a
2
=4,a
3
+a
4
=16,则该数列的公差为( )
A.2
B.3
C.6
D.7
题型:不详
难度:
|
查看答案
设公差不为零的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
.若a
2
2
+a
3
2
=a
4
2
+a
5
2
,则S
6
=______.
题型:浙江模拟
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}中,前n项和为S
n
,若a
3
+a
9
=6,则S
11
等于( )
A.12
B.33
C.66
D.11
题型:不详
难度:
|
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