(Ⅰ)在∵(n-1)an+1=(n+1)(an-1),中, 由∴a1=1,a3=15.a4=28; ∴b1=2,b2=8,b3=18,b4=32 (Ⅱ)由(1)知b1=2×12,b2=2×22,b3=2×32,b4=2×42 .由此猜测bn=2n2. 下面用数学归纳法证明: ①当n=1时猜想显然成立; ②假设n=k(k≥2)猜想成立,即bk=2k2,则有ak=2k2-k, 根据题意,得(k-1)ak+1=(k+1)(ak-1)=(k+1)(2k2-k-1),解出ak+1=(k+1)(2k+1), 于是bk+1=ak+1+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=2(k+1)2, ,即当n=k+1时猜想也成立. 综合①②得对于所有n∈N*都有bn=2n2 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,an=2n2-n, 假设存在非零常数p,q,使得数列{}成等差数列,设其公差为d, 令cn==,则有cn=c1+(n-1)d=dn+c1-d, 从而=dn+c1-d, 化简得:2n2-n=dpn2+[dq+p(c1-d)]n+q(c1-d). 所以有 | dp=2 | dq+p(c1-d)=-1 | q(c1-d)=0 |
| | , ∵q≠0 ∴c1=d∴dq=-1 ∴=-2 故存在满足关系p=-2q的非零常数p,q,使得数列{}成等差数列 |