若数列{an}满足对任意的n有:Sn=n(a1+an)2,试问该数列是怎样的数列?并证明你的结论.
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若数列{an}满足对任意的n有:Sn=n(a1+an)2,试问该数列是怎样的数列?并证明你的结论.
题型:不详
难度:
来源:
若数列{a
n
}满足对任意的n有:S
n
=
n(
a
1
+
a
n
)
2
,试问该数列是怎样的数列?并证明你的结论.
答案
a
n+1
=S
n+1
-S
n
①
a
n
=S
n
-S
n-1
(n≥2)②
①-②得
a
n+1
-a
n
=S
n+1
+S
n-1
-2S
n
=
(n+1)(
a
1
+
a
n+1
)
2
+
(n-1)(
a
1
+
a
n-1
)
2
-n(a
1
+a
n
)
=
1
2
[(n+1)a
n+1
+(n-1)a
n-1
-2na
n
]
可得2(a
n+1
-a
n
)=(n+1)a
n+1
+(n-1)a
n-1
-2na
n
(n≥2)
整理可得2(n-1)a
n
=(n-1)a
n+1
+(n-1)a
n-1
(n≥2)
即2a
n
=a
n+1
+a
n-1
(n≥2)
根据等差数列的特性可知:此数列为等差数列
举一反三
已知数列{a
n
}满足条件(n-1)a
n+1
=(n+1)(a
n
-1),a
2
=6,令b
n
=a
n
+n(n∈N
*
)
(Ⅰ)写出数列{b
n
}的前四项;
(Ⅱ)求数列{b
n
}的通项公式,并给出证明;
(Ⅲ)是否存在非零常数p,q,使得数列
{
a
n
pn+q
}
成等差数列?若存在,求出p,q满足的关系式;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
+a
3
=10,a
6
=11,则S
7
=______.
题型:合肥模拟
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
2
=5,a
1
+a
4
=12,则a
n
=______;设
b
n
=
1
a
2n
-1
(n∈
N
*
)
,则数列{b
n
}的前n项和S
n
=______.
题型:石景山区二模
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,若a
1
+a
5
+a
9
=
π
4
,则tan(a
4
+a
6
)=______.
题型:东莞一模
难度:
|
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设等差数列{a
n
},{b
n
}前n项和S
n
,T
n
满足
S
n
T
n
=
An+1
2n+7
,且
a
3
b
4
+
b
6
+
a
7
b
2
+
b
8
=
2
5
,S
2
=6;函数
g(x)=
1
2
(x-1)
,且c
n
=g(c
n-1
)(n∈N,n>1),c
1
=1.
(1)求A;
(2)求数列{a
n
}及{c
n
}的通项公式;
(3)若
d
n
=
a
n
(n为奇数)
c
n
(n为偶数)
,试求
d
1
+
d
2
+…+
d
n
.
题型:东莞一模
难度:
|
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