设数列{an}中,Sn是它的前n项和,a1=4,nan+1=Sn+n(n+1)对任意n∈N*均成立.(I)求证:数列{an}是等差数列;(II)设数列{bn}满
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设数列{an}中,Sn是它的前n项和,a1=4,nan+1=Sn+n(n+1)对任意n∈N*均成立.(I)求证:数列{an}是等差数列;(II)设数列{bn}满
题型:丰台区二模
难度:
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设数列{a
n
}中,S
n
是它的前n项和,a
1
=4,na
n+1
=S
n
+n(n+1)对任意n∈N
*
均成立.
(I)求证:数列{a
n
}是等差数列;
(II)设数列{b
n
}满足b
n+1
-b
n
=a
n
,其中b
1
=2,求数列{b
n
}的通项公式;
(III)设
c
n
=
1
b
n
,求证:c
1
+c
2
+…+c
n
<1.
答案
(I)∵na
n+1
=S
n
+n(n+1)①∴(n-1)a
n
=S
n-1
+(n-1)n(n≥2)②
①-②整理得,a
n+1
-a
n
=2(n≥2)
又由①,取n=1得a
2
-a
1
=2∴a
n+1
-a
n
=2(n∈N
*
)
∴数列{a
n
}是以4为首项,2为公差的等差数列.
(II)由(I)知a
n
=4+2(n-1)=2(n+1)
∴b
n+1
-b
n
=2(n+1)
∴(b
n
-b
n-1
)+(b
n-1
-b
n-2
)+…+(b
3
-b
2
)+(b
2
-b
1
)=2n+2(n-1)+…+2×3+2×2=n
2
+n-2
∴b
n
=n(n+1).
(III)由
c
n
=
1
b
n
得,
c
n
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
∴c
1
+c
2
+…+c
n
=
1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
<1
.
举一反三
设{a
n
}是公差d≠0的等差数列,S
n
是其前n项的和.
(1)若a
1
=4,且
S
3
3
和
S
4
4
的等比中项是
S
5
5
,求数列{a
n
}的通项公式;
(2)是否存在p,q∈N
*
,且p≠q,使得S
p+q
是S
2p
和S
2q
的等差中项?证明你的结论.
题型:西城区一模
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
1
=3,a
n+1
=3a
n
+3
n+1
.
(1)设
b
n
=
a
n
3
n
.证明:数列{b
n
}是等差数列;
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
题型:越秀区模拟
难度:
|
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(1)请写出一个各项均为实数且公比0<q<1的等比数列,使得其同时满足a
1
+a
6
=11且
a
3
•
a
4
=
32
9
;
(2)在符合(1)条件的数列中,能否找到一正偶数m,使得
a
m
,
a
2m
, -
1
9
这三个数依次成等差数列?若能,求出这个m的值; 若不能,请说明理由.
题型:杭州二模
难度:
|
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若数列{a
n
}是等差数列,a
3
=7,S
6
=51,则a
9
等于( )
A.24
B.25
C.26
D.27
题型:不详
难度:
|
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若S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,其首项a
1
>0,a
99
+a
100
>0,a
99
•a
100
<0,则使S
n
>0成立的最大自然数n是( )
A.198
B.199
C.200
D.201
题型:崇文区二模
难度:
|
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