数列{an}、{bn}满足a3=b3=6,a4=b4=4,a5=b5=3,且{an+1-an}(n∈N*)是等差数列,{bn-2}(n∈N*)是等比数列.(I)
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数列{an}、{bn}满足a3=b3=6,a4=b4=4,a5=b5=3,且{an+1-an}(n∈N*)是等差数列,{bn-2}(n∈N*)是等比数列. (I)求数列{an}、{bn}的通项公式; (II)n取何值时,an-bn取到最小正值?试证明你的结论. |
答案
(I)设cn=an+1-an,数列{an+1-an}的公差为d, 则c3=a4-a3=-2,c4=a5-a4=-1, ∴d=c4-c3=1, ∴cn=c3+(n-3)=n-5, ∴an+1-an=n-5 ∴(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a5-a4)+(a4-a3)=(n-6)+(n-7)+…+(-1)+(-2), ∴an-a3=, ∴an=n2-n+18(n∈N*);(4分) 设dn=bn-2,数列{bn-2}的公比是q,则d3=b3-2=4,d4=b4-2=2, ∴q==, ∴dn=d3qn-3=4•()n-3=25-n, ∴bn=2+25-n(n∈N*)(7分). (II)a1-b1=-5,a2-b2=-1,a3-b3=a4-b4=a5-b5=0, a6-b6=,a7-b7=>, 猜想:n=6时,a6-b6取到最小正值.(9分) 下面用数学归纳法给以证明: (1)当n=7时,a7-b7=>; (2)假设n=k(k≥7,k∈N*)时,ak-bk>, 当n=k+1时,ak+1=(k+1)2-(k+1)+18=(k2-k+18)+k-5 =ak+k-5>bk++k-5>bk+1++k-5, 又∵k≥7,∴ak+1>bK+1+, 即ak+1-bK+1>, ∴n=k+1时,猜想成立. 由(1)、(2)知,对任意不少于7的正整数n,均有an-bn>. 综上所述,n=6时,a6-b6取到最小正值.(14分) (用函数单调性证明相应给分) |
举一反三
公差不为零的等差数列{an}的第二、三及第六项构成等比数列,则=______. |
已知数列{an}中,a1=3,a10=21,通项an是项数n的一次函数, ①求{an}的通项公式,并求a2005; ②若{bn}是由a2,a4,a6,a8,…,组成,试归纳{bn}的一个通项公式. |
设数列{an}中,Sn是它的前n项和,a1=4,nan+1=Sn+n(n+1)对任意n∈N*均成立. (I)求证:数列{an}是等差数列; (II)设数列{bn}满足bn+1-bn=an,其中b1=2,求数列{bn}的通项公式; (III)设cn=,求证:c1+c2+…+cn<1. |
设{an}是公差d≠0的等差数列,Sn是其前n项的和. (1)若a1=4,且和的等比中项是,求数列{an}的通项公式; (2)是否存在p,q∈N*,且p≠q,使得Sp+q是S2p和S2q的等差中项?证明你的结论. |
在数列{an}中,a1=3,an+1=3an+3n+1. (1)设bn=.证明:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn. |
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