已知点(n,an)(n∈N*)在函数f(x)=-2x-2的图象上,数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn是6Sn与8n的等差中项.(
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已知点(n,an)(n∈N*)在函数f(x)=-2x-2的图象上,数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn是6Sn与8n的等差中项.(
题型:东城区模拟
难度:
来源:
已知点(n,a
n
)(n∈N
*
)在函数f(x)=-2x-2的图象上,数列{a
n
}的前n项和为S
n
,数列{b
n
}的前n项和为T
n
,且T
n
是6S
n
与8n的等差中项.
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)设c
n
=b
n
+8n+3,数列{d
n
}满足d
1
=c
1
,
d
n+1
=
c
d
n
(n∈N*).求数列{d
n
}的前n项和D
n
;
(3)设g(x)是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数x
1
,x
2
,恒有g(x
1
x
2
)=x
1
g(x
2
)+x
2
g(x
1
)成立,且g(2)=a(a为常数,a≠0),试判断数列
{
g(
d
n
+1
2
)
d
n
+1
}
是否为等差数列,并说明理由.
答案
(Ⅰ)依题意得a
n
=-2n-2,故a
1
=-4.
又2T
n
=6S
n
+8n,即T
n
=3S
n
+4n,
∴当n≥2时,b
n
=T
n
-T
n-1
=3(S
n
-S
n-1
)+4=3a
n
+4=-6n-2.
又b
1
=T
1
=3S
1
+4=3a
1
+4=-8,也适合上式,
∴b
n
=-6n-2(n∈N*).
(Ⅱ)∵c
n
=b
n
+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1(n∈N*),
d
n+1
=
c
d
n
=2d
n
+1,
因此d
n+1
+1=2(d
n
+1)(n∈N*).
由于d
1
=c
1
=3,
∴{d
n
+1}是首项为d
1
+1=4,公比为2的等比数列.
故d
n
+1=4×2
n-1
=2
n+1
,
∴d
n
=2
n+1
-1.
D
n
=(2
2
+2
3
++2
n+1
)-n=
4(
2
n
-1)
2-1
-n=
2
n+2
-n-4
.
(Ⅲ)
g(
d
n
+1
2
)=g(
2
n
)=
2
n-1
g(2)+2g(
2
n-1
)
则
g(
d
n
+1
2
)
d
n
+1
=
g(
2
n
)
2
n+1
=
2
n-1
g(2)+2g(
2
n-1
)
2
n+1
=
a
4
+
g(
2
n-1
)
2
n
=
a
4
+
g(
d
n-1
+1
2
)
d
n-1
+1
∴
g(
d
n
+1
2
)
d
n
+1
-
g(
d
n-1
+1
2
)
d
n-1
+1
=
a
4
因为已知a为常数,则数列
{
g(
d
n
+1
2
)
d
n
+1
}
是等差数列.
举一反三
在等差数列{a
n
}中,a
3
,a
8
是方程x
2
-3x-5=0的两个根,则S
10
是( )
A.15
B.30
C.50
D.
15+12
29
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
},a
n
∈N
*
,前n项和S
n
=
1
8
(a
n
+2)
2
.
(1)求证:{a
n
}是等差数列;
(2)若b
n
=
1
2
a
n
-30,求数列{b
n
}的前n项和的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}是公差为d的等差数列,{b
n
}是公比为q的等比数列
(1)若a
n
=3n+1,是否存在m,n∈N
*
,有a
m
+a
m+1
=a
k
?请说明理由;
(2)若b
n
=aq
n
(a、q为常数,且aq≠0)对任意m存在k,有b
m
•b
m+1
=b
k
,试求a、q满足的充要条件;
(3)若a
n
=2n+1,b
n
=3
n
试确定所有的p,使数列{b
n
}中存在某个连续p项的和式数列中{a
n
}的一项,请证明.
题型:上海
难度:
|
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设{S
n
}是等差数列{a
n
}的前n项和,若
S
8
S
4
=3
,则
S
16
S
8
=( )
A.
4
3
B.
10
3
C.
9
5
D.3
题型:不详
难度:
|
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凸n边形各内角成等差数列,公差d=10°,最小内角为100°,则n=( )
A.5或6
B.9
C.8
D.8或9
题型:不详
难度:
|
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