已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列(1)若an=3n+1,是否存在m,n∈N*,有am+am+1=ak?请说明理由;(2)若bn=a
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已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列 (1)若an=3n+1,是否存在m,n∈N*,有am+am+1=ak?请说明理由; (2)若bn=aqn(a、q为常数,且aq≠0)对任意m存在k,有bm•bm+1=bk,试求a、q满足的充要条件; (3)若an=2n+1,bn=3n试确定所有的p,使数列{bn}中存在某个连续p项的和式数列中{an}的一项,请证明. |
答案
(1)由am+am+1=ak,得6m+6+3k+1, 整理后,可得k-2m=,∵m、k∈N, ∴k-2m为整数∴不存在n、k∈N*,使等式成立. (2)当m=1时,则b1•b2=bk, ∴a2•q3=aqk∴a=qk-3,即a=qc,其中c是大于等于-2的整数 反之当a=qc时,其中c是大于等于-2的整数,则bn=qn+c, 显然bm•bm+1=qm+c•qm+1+c=q2m+1+2c=bk,其中k=2m+1+c ∴a、q满足的充要条件是a=qc,其中c是大于等于-2的整数 (3)设bm+1+bm+2+…+bm+p=ak 当p为偶数时,(*)式左边为偶数,右边为奇数, 当p为偶数时,(*)式不成立. 由(*)式得=2k+1, 整理得3m+1(3p-1)=4k+2 当p=1时,符合题意. 当p≥3,p为奇数时,3p-1=(1+2)p-1 =Cp0+Cp1•21+Cp2•22++Cpp•2p-1 =Cp1•21+Cp2•22++Cpp•2p =2(Cp1+Cp2•2++Cpp•2p-1) =2[2(Cp2+Cp2•22++Cpp•2p-2)+p] ∴由3m+1(3p-1)=4k+2,得3m+1[2(Cp2+Cp2•22++Cpp•2p-2)+p]=2k+1 ∴当p为奇数时,此时,一定有m和k使上式一定成立. ∴当p为奇数时,命题都成立. |
举一反三
设{Sn}是等差数列{an}的前n项和,若=3,则=( ) |
凸n边形各内角成等差数列,公差d=10°,最小内角为100°,则n=( ) |
等差数列{an}的前3项和为15,最后3项和为123,所有项的和是345,这个数列的项数是( ) |
等差数列{an}中,已知a4、a5分别是方程x2-8x+15=0的两根,则S8=______. |
{an}为等差数列,若<-1,且它的前n项和Sn有最小值,那么当Sn取得最小正值时,n=( ) |
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