已知数列{an},首项a 1=3且2a n=S n•S n-1 (n≥2).(1)求证:{1Sn}是等差数列,并求公差;(2)求{a n }的通项公式;(3)数
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已知数列{an},首项a 1=3且2a n=S n•S n-1 (n≥2).(1)求证:{1Sn}是等差数列,并求公差;(2)求{a n }的通项公式;(3)数
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
},首项a
1
=3且2a
n
=S
n
•S
n-1
(n≥2).
(1)求证:{
1
S
n
}是等差数列,并求公差;
(2)求{a
n
}的通项公式;
(3)数列{a
n
}中是否存在自然数k
0
,使得当自然数k≥k
0
时使不等式a
k
>a
k+1
对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.
答案
(1).由已知当n≥2时2a
n
=S
n
•S
n-1
得:2(S
n
-S
n-1
)=S
n
•S
n-1
(n≥2)⇒
1
S
n
-
1
S
n-1
= -
1
2
(n≥2)⇒
{
1
S
n
}
是以
1
S
1
=
1
a
1
=
1
3
为首项,公差d=-
1
2
的等差数列.
(2).∵
1
S
n
=
1
S
1
+(n-1)d
=
1
3
+(n-1)(-
1
2
)=
5-3n
6
,
S
n
=
6
5-3n
(n≥ 2)
从而
a
n
=
1
2
S
n
•
S
n-1
=
18
(3n-5)(3n-8)
,
∴
a
n
=
3 (n=1)
18
(3n-5)(3n-8)
(n≥2)
(3).
令
a
k
-
a
k+1
>0,即(3k-2)(3k-5)(3k-8)>0,可得
2
3
<k<
5
3
或k>
8
3
.故只需取k=3,则对
大于或等于3的一切自然数总有
a
k
>
a
k+1
成立,这样的自然数存在最小值3.
举一反三
在1与6中间插入10个数,使这12个数成等差数列,则这个数列的第6项为______.
题型:唐山三模
难度:
|
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设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,若
a
5
a
6
=
11
9
,则
S
9
S
11
=______.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,若m+n=p+q(m,n,p∈N
*
)),则下列各式一定成立的是( )
A.a
m
+a
n
=a
p
+a
q
B.a
m
-a
n
=a
p
-a
q
C.a
m
.a
n
=a
p
.a
q
D.
a
m
a
n
=
a
ρ
a
q
题型:不详
难度:
|
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设m个不全相等的正数a
1
,a
2
,…,a
m
(m≥7)依次围成一个圆圈,
(Ⅰ)若m=2009,且a
1
,a
2
,…,a
1005
是公差为d的等差数列,而a
1
,a
2009
,a
2008
,…,a
1006
是公比为q=d的等比数列;数列a
1
,a
2
,…,a
m
的前n项和S
n
(n≤m)满足:S
3
=15,S
2009
=S
2007
+12a
1
,求通项a
n
(n≤m);
(Ⅱ)若每个数a
n
(n≤m)是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:a
1
+…+a
6
+a
7
2
+…+a
m
2
>ma
1
a
2
a
m
.
题型:重庆
难度:
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已知数列{a
n
}为等差数列,其前n项和为S.若a
1
>0,S
20
=0,则使a
n
>0成立的n的最大值是______.
题型:安徽模拟
难度:
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