设m个不全相等的正数a1,a2,…,am(m≥7)依次围成一个圆圈,(Ⅰ)若m=2009,且a1,a2,…,a1005是公差为d的等差数列,而a1,a2009,
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设m个不全相等的正数a1,a2,…,am(m≥7)依次围成一个圆圈, (Ⅰ)若m=2009,且a1,a2,…,a1005是公差为d的等差数列,而a1,a2009,a2008,…,a1006是公比为q=d的等比数列;数列a1,a2,…,am的前n项和Sn(n≤m)满足:S3=15,S2009=S2007+12a1,求通项an(n≤m); (Ⅱ)若每个数an(n≤m)是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:a1+…+a6+a72+…+am2>ma1a2am. |
答案
(I)因a1,a2009,a2008,a1006是公比为d的等比数列, 从而a2009=a1d,a2008=a1d2, 由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1, 解得d=3或d=-4(舍去). ∴d=3, 又S3=3a1+3d=15.解得a1=2 从而当n≤1005时,an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1 当1006≤n≤2009时,由a1,a2009,a2008,a1006是公比为d的等比数列 得an=a1d2009-(n-1)=a1d2010-n(1006≤n≤2009) 因此an= | 3n-1,n≤1005 | 2•32009-n,1006≤n≤2009 |
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(II)由题意an2=an-12an+12(1<n<m),am2=am-12a12,a12=am2a22 得 | an=an-1an+1(1<n<m),① | am=am-1a1② | a1=ama2③ |
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有①得a3=,a4=,a5=,a6=④ 由①,②,③得a1a2an=(a1a2an)2, 故a1a2an=1.⑤ 又ar+3==•=(1≤r≤m-3), 故有ar+6==ar(1≤r≤m-6).⑥ 下面反证法证明:m=6k 若不然,设m=6k+p,其中1≤p≤5 若取p=1即m=6k+1,则由⑥得am=a6k+1=a1, 而由③得am=,故a1=, 得a2=1,由②得am-1=,从而a6=a6k=am-1, 而a6=,故a1=a2=1,由④及⑥可推得an=1(1≤n≤m)与题设矛盾 同理若P=2,3,4,5均可得an=1(1≤n≤m)与题设矛盾, 因此m=6k为6的倍数 由均值不等式得a1+a2+a3++a6=(a1+)+(a2+)+(+)≥6 由上面三组数内必有一组不相等(否则a1=a2=a3=1, 从而a4=a5═am=1与题设矛盾),故等号不成立, 从而a1+a2+a3++a6>6又m=6k,由④和⑥得 a72++am2=(a72++a122)++(a6k-52++a6k2) =(k-1)(a12++a62) =(k-1)(+++++)≥6(k-1) 因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++am2>6+6(k-1)=6k=m=ma1a2a3am |
举一反三
已知数列{an}为等差数列,其前n项和为S.若a1>0,S20=0,则使an>0成立的n的最大值是______. |
已知数列{an}中,a1=4,an=2an-1+2n(n≥2,n∈N*). (Ⅰ)求a2和a3的值; (Ⅱ)若数列{}为等差数列,求实数t的值. |
已知一个数列{an}的前n项和是Sn=n2+n+3, (1)求a1的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明{an}不是等差数列. |
等差数列{an}中,a5+a7=16,a3=4,则a9=______. |
已知点(n,an)(n∈N*)在函数f(x)=-2x-2的图象上,数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn是6Sn与8n的等差中项. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设cn=bn+8n+3,数列{dn}满足d1=c1,dn+1=cdn(n∈N*).求数列{dn}的前n项和Dn; (3)设g(x)是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数x1,x2,恒有g(x1x2)=x1g(x2)+x2g(x1)成立,且g(2)=a(a为常数,a≠0),试判断数列{}是否为等差数列,并说明理由. |
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