(I)∵an+1=an•q+qn+1(q>0) ∴==+1,又=0, 即数列{}是以0为首项,1为公差的等差数列(3分) 且=n-1,an=(n-1)qn(n=1,2,3) (II)bn=an+2n=(n-1)qn+2n(4分) ∴b1=2,b2=q2+4,b3=2q3+8(5分) ∴b22-b1b3=(q2+4)2-2(2q3+8)=(q4+8q2+16)-4q3-16=q4-4q3+8q2=q2(q2-4q+8)=q2[(q-2)2+4]>0 ∴b22>b1b3(8分)
(III)∵bn=(n-1)qn+2n,n=1,2,3,…,∴bn>0 b1=2,b2=q2+4,bn+1=nqn+1+2n+1 -= 又b2bn-b1bn+1=(q2+4)[(n-1)qn+2n]-2(nqn+1+2n+1) =[(q2+4)(n-1)-2nq]qn+q2•2n ①当n=1时,b2bn-b1bn+1=0,即= ②当n≥2时,∵q>0,q2+4≥2•q•2=4q ∴(q2+4)(n-1)-2nq≥4(n-1)q-2nq=2(n-2)q≥0又q2•2n>0 ∴b2bn-b1bn+1>0 由①②得-=≥0,即对于任意的正整数n,≤恒成立 故所求的正整数k=1. |