已知函数f(x)=lnx的图象是曲线C,点An(an,f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点,曲线C在点An(an,f(an))处的切线与y轴交于点Bn(
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已知函数f(x)=lnx的图象是曲线C,点An(an,f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点,曲线C在点An(an,f(an))处的切线与y轴交于点Bn(0,bn),若数列{bn}是公差为2的等差数列,且f(a1)=3. (1)分别求出数列{an}与数列{bn}的通项公式; (2)设O为坐标原点,Sn表示△AnBn的面积,求数列{Sn}的前n项和Tn. |
答案
(1)求导函数可得f′(x)=,则曲线C在点An(an,f(an))处的切线方程为y-lnan=(x-an) 令x=0,则y-lnan=-1,∴bn=lnan-1 ∴bn+1-bn=lnan+1-1-lnan+1=2 ∴=e2 ∵f(a1)=3, ∴ln(a1)=3, ∴a1=e3, ∴an=e2n+1 ∴bn=lnan-1=2n; (2)Sn=×bn×an=n×e2n+1 ∴Tn=1×e3+2×e5+…+n×e2n+1① ∴e2Tn=1×e5+2×e7+…+(n-1)×e2n+1+n×e2n+3② ①-②可得Tn-e2Tn=1×e3+1×e5+…+1×e2n+1-n×e2n+3 ∴Tn=- |
举一反三
已知数列 {an}和{bn}满足 a1=m,an+1=λan+n,bn=an-+,{bn}的前n项和为Tn. (Ⅰ)当m=1时,求证:对于任意的实数λ,{an}一定不是等差数列; (Ⅱ) 当λ=-时,试判断{bn}是否为等比数列; (Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,若1≤Tn≤2对任意的n∈N*恒成立,求实数m的范围. |
在等差数列{an}中,a1=-2008,其前n项和为Sn,若-=2,则S2008=______. |
数列{an}的前n项和为Sn,若Sn、an、3n成等差数列(n∈N+),则数列{an}的通项公式为an=______. |
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=3,S9-S6=12,则S6=______. |
等差数列{an}中公差d<0,a2a4=12,a2+a4=8,则通项公式an=______. |
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